Nekonečné postupnosti pytagorejských trojuholníkov

Ing. Marián Bobrík, Dolný Kubín

1. Úvod

Pánom profesorom Ďuriníkoví (mat.) a Križanovskému (fyz.) , ktorí ma nenechali prepadnúť na maturite z matematiky na SVŠ Bytča rok 1961.

Po skončení Vysokej školy poľnohospodárskej v Nitre v roku 1966 som si zhromaždil knihy o matematike, ktoré sme mali doma. Boli to stredoškolské učebnice matematiky a matematické tabuľky, čo ostali po nás deťoch. Zvlášť ma priťahovala Algebra z roku 1954. Mám ju tu po pravej ruke. Jej strany sú zožltnuté, rozstrapkané a mäkučké. Začal som si kupovať knihy o matematike. Pytagorejský trojuholník bol pre mňa tajomný. Robil som si výpisky z matematiky a čo to som sa naučil. Potom 30 rokov, som sa matematike venoval málo. Až v roku 2021 keď som mal 77 rokov, kedy som stále nevedel pochopiť vzťahy medzi ľudmi, chcel som sa pred trvalým odchodom skryť. Spomenul som si na prof. Boleslava Riečana, pre ktorého bola matematika osobitným svetom, kde platia prísne, ale pravdivé zákony overiteľné ľudským rozumom. Svet, ktorý nesklame. A tak som oprášil svoje knihy a poznámky o matematike. Myslel som si, že pytagorejských trojuholníkov, ktoré nie sú podobné je málo. O pytagorejských trojuholníkoch sa vie tisíce rokov. Nepredpokladám, že by tam ostal kameň na kameni. Ako to v matematike býva, po dvoch, troch jednoduchých krokoch sa stáva komplikovaná. Nemám matematické vzdelanie, nehrám sa na matematika, hrám sa len s matematikou, neviem či tejto práci porozumejú matematici, alebo ne matematici.

Cieľom tejto práce je byť v spoločenstve s významnými matematikmi minulosti, udržať si zdraví rozum vo vyššom veku a ukázať svoj pohľad na pytagorejské trojuholníky.

1.1. Matematicke pravidla pri pytagorejských trojuholníkoch.

Ako ma učili páni profesori, egyptskí merači uhlov vytyčovali pravé uhly pomocou pytagorejského trojuholníka so stranami o 4, 3, 5 dielikov (4 priľahlá odvesna, 3 protiľahlá odvesna a 5 prepona). Dielik môže mať rôznu dĺžku 2 mm, 57 cm, rovnej paličky, atď. Počet rovnakých dielikov každej strany musí byť prirodzené číslo. Dielikmi nazývame čísla, ktoré vyjadrujú dĺžky strán pytagorejského trojuholníka. Ľahko sa presvedčíme, že po dosadení dĺžok strán do pytagorovej rovnice, uvedený trojuholník 4, 3, 5, spĺňa jej podmienky. Poznáme množinu:

- celých čísel {-6, 2, 5, … }∈ℤ,

- prirodzených čísel {2, 5, 100, … }∈ℕ a ich rozdelenie na nepárne (2n±1) a párne (2n),

napr. 3 a 2,

- prvočísel {2,3,5,7, …, }∈ ℙ, prvočíslo p∊ℙ, niekde π∊ℙ,

- nuly a prirodzených čísel (0, ℕ)∊ℕ₀,

- racionálnych čísel ℚ, každé prirodzené číslo patrí do racionálnych čísel, ktoré sa dajú

vyjadriť ako podiel celého a prirodzeného čísla, v základnom tvare p/q∈ℚ, q≠0, q ≥1,

napr. základný tvar čísla je 2, 4, alebo 2/1, 4/1 ako nevlastný zlomok, zložené čísla sú 6/3,

alebo 8/2, sa dajú krátiť,

- iracionálnych čísel, ktoré nie sú racionálne, nedajú sa vyjadriť pomerom dvoch celých

čísel, napr. √2, Ludolfovo číslo π=3,14 Eulerovo číslo ꬲ=2,71828, atď., množinu

iracionálnych čísel označujeme ako ℝ-ℚ, kde ℝ je množina reálnych čísel,

- komplexných čísel ℂ, ako súčasť aritmetickej funkcie 𝘧 : ℕ → ℂ.

Najmenšie prirodzené a nepárne číslo je 1. Druhé najmenšie prirodzené číslo je 2, zároveň je najmenším párnym číslom a jediným párnym prvočíslom.

Keď k párnemu číslu pripočítame nepárne číslo stane sa nepárne a keď k nepárnemu číslu pripočítame párne zostane nepárnym, napr. 2+3=5, alebo 3+2=5.

Keď sčítame druhé mocniny dvoch nepárnych, alebo párnych čísel, dostaneme vždy párne číslo, napr. 3²+5²=34, alebo 2²+4²=20.

Každé prirodzené číslo má dvoch a viac deliteľov. Prirodzené čísla sa delia na zložené čísla a prvočísla. Zložené číslo má viac ako dvoch deliteľov. Prvočísla sú prirodzené čísla deliteľné bez zvyšku, jednotkou a samým sebou, majú dvoch deliteľov napr. 3/1=3, 3/3=1, 5/1=5, 5/5=1, ostatne sú zložené (viac ako dva delitele), napr. 4/1=4, 4/2=2, 4/4=1, … , . Jednotka aj keď nie je prvočíslo ma podobné vlastnosti ako prvočísla, je deliteľná jednotkou a sama sebou. Jednotkou a samým sebou sú deliteľné bez zvyšku všetky prirodzené čísla, napr. 2:1=2, 2:2=1, 10:1=10, alebo 10:10=1. Pre každé zložené prirodzené číslo väčšie ako 2 existuje rozklad na súčin prvočísel, tento rozklad je jednoznačný (základná veta aritmetiky). Každé prirodzené číslo sa dá vyjadriť ako súčin jednotky so samým sebou, napr. 7=1.7. Ľubovolne zložené prirodzené číslo sa dá vyjadriť ako súčin jednotky a prvočísel, napr 6=1.2.3, 8=1.2.2.2, alebo 9=1.3.3, štvorka je najmenšie zložené párne číslo. Trojka je najmenšie nepárne prvočíslo a 9 najmenšie zložené nepárne číslo.

Poloprvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je súčinom jednotky a dvoch rovnakých, alebo nerovnakých prvočísel. Poloprvočísla sú vždy zložené párne, alebo nepárne čísla. Najmenším párnym poloprvočíslom je 4, ktoré je súčinom jednotky a dvoch prvočísel t.j. 1.2.2=4, najmenšie nepárne je 9=1.3.3.

Zložené prirodzené čísla rozdeľujeme na dve skupiny podľa činiteľov (prvočísel):

- činitele (prvočísla), ktoré sa neopakujú, napr. 66=2.3.11, 65=5.13, atď.

- činitele (prvočísla), ktoré sa opakujú, sú to všetky mocniny a ďalšie zložené čísla, napr.

2.2=4=2², 3.3.3= 27=3³, 2.2.2.2.5=80=2⁴.5, atď.

Základné nepárne čísla sú jednotka a prvočísla okrem dvojky. Zložené nepárne čísla sú zložené z jednotky a nepárnych prvočísel. Párne čísla sú dvojka, zložené čísla z dvojky alebo z dvojok a z nepárnych prvočísel.

Prirodzené zložené čísla sa dajú bez zvyšku vydeliť:

- prvočíslami z rozkladu prvočísel, napr. prvočíselný rozklad čísla 24 je 2.2.2.3, z toho sú

prvočísla 2 a 3, potom 24:2=12, 24:3=8,

- deliteľmi z rozkladu prvočísel, napr. 24=1.2.2.2.3, potom 24:1=24, 24:2=12,

24:(2.2)=6, 24:(2.2.2)=3, 24:3=8, delitele z rozkladu čísla 24 sú 1,2,3,4,6,8,

- podielmi z rozkladu prvočísel, napr. podielmi čísla 24 sú 24/24, 24/12, 24/8, 24/6, 24/3,

deliteľmi sú 24, 12, 8, 6, 3.

Nesúdeliteľné čísla nemajú spoločného deliteľa okrem jednotky a samých sebou, súdeliteľné majú spoločného deliteľa jednotku a čísla rôzne od jednotky. Delenie prirodzeného čísla pri ktorom vzniknú prirodzené čísla nazývame krátením čísla, napr. 12, 9, 15 krátime číslom 3 a dostaneme čísla 4, 3 a 5 tj. (12/3=4, 9/3=3, 15/3=5). Násobenie prirodzeného čísla pri ktorom vzniknú prirodzené čísla nazývame rozšírením prirodzeného čísla, napr. 4, 3, 5 rozšírime číslom 3 tj. (4.3=12, 3.3=9, 5.3=15).

Všetky tieto poznatky sú známe starším žiakom základnej školy. Uvádzame ich pre zásadný význam, ktorý majú pri pytagorejských trojuholníkoch.

1.2. Pytagorová veta

Aj pytagorová veta je známa, zaoberá sa vzťahom medzi dĺžkami troch strán pravouhlého trojuholníka. Najdlhšia strana sa nazýva prepona, ostatné dve sú odvesny. Uhly vo vnútri pravouhlého trojuholníka spolu dávajú 180^º, z toho je jeden α=90º. V našom príklade z pohľadu uhla φ (obr.1) je :

r β x – priľahlá odvesna k uhlu φ,

y y – protiľahlá odvesna k uhlu φ,

r – prepona, najdlhšia strana ◿,

x α = 90^º ; α = φ + β = 90^º.

Obr.1. Pytagorejský trojuholník

Platí

pytagorová veta, x² + y² = r² ; r = √x² + y² ;

pytagorejský trojuholník=pytagorejská trojica čísel (x,y,r),

najmenší pytagorejský trojuholník, (4,3,5) 4² + 3² = 5²

totožný najmenší pytagorejský trojuholník, (3,4,5) 3² + 4² = 5²

všeobecne podmienky pre pytagorejský trojuholník (x,y,r)∈ℕ: x²+y²=r²

známa je aj identická rovnosť (a+b)² = a²+2ab+b^2,

Definícia pytagorejských trojuholníkov : ∀(x,y,r) : (x,y,r,)∈ℕ ∧ x²+y²=r²,

pre každý pytagorejský trojuholník platí, že jeho strany sú prirodzené čísla a spĺňajú podmienky pytagorovej vety.

Pytagorová veta so symbolmi x, y, r sa zvykne uvádzať ako rovnica stredovej kružnice so stredom v začiatku súradníc (xy:0∈x∩y) a s polomerom r. Pričom r[x,y] je daný súradnicami x, y, čo z pohľadu pravouhlého ⊿ sú jeho strany. My sme si tieto symboly vypožičali na označenie strán pytagorejských trojuholníkov a pytagorovej vety.

Každá predchádzajúca slovná veta je pravidlom pre pytagorejské trojuholníky. Sú to všetko známe a dokázané tvrdenia, ktoré sa pri pytagorejských trojuholníkoch používajú so samozrejmosťou.

1.3. Členenie a označovanie pytagorejských trojuholníkov

Trojuholníky s vlastnosťami pytagorejského trojuholníka budeme nazývať pytagorejskými trojuholníkmi a na začiatku slovnej vety označovať P , uprostred slovnej vety p, strany (x,y,r) sú pytagorejským trojčíslím. Z tejto práce vyplynula potreba rozlišovať najmenšie, základné, zložené, východiskové, horizontálne a vertikálne p:

- najmenšie p(4,3,5)≡p(3,4,5), 4(3)- priľahlá odvesna x, 3(4)- protiľahlá odvesna y,

5(5)- prepona r, sú to p od ktorých sa odvodzujú všetky p, ich strany sú nesúdeliteľné,

niekto ich nazval primitívnymi asi pretože existujú a ich existenciu netreba dokazovať,

- základné p(x,y,r), majú vlastnosti najmenších p, ich tri strany sú x>4, y>3,

r>5 a sa nedajú upraviť krátením rovnakým prirodzeným číslom, aj základné p sa

nazývajú primitívnymi pretože ich strany x, y, r, sú nesúdeliteľné,

- zložené, podobné p(x,y,r), ich strany sa dajú upraviť krátením na základný tvar, napr.

p(12,16,20,) na p(3,4,5), spoločným deliteľom týchto strán je číslo 4, strany sú

súdeliteľné,

- východiskové p(x,y,r), sú základné a sú začiatkom nekonečných postupnosti základných

a zložených p, napr: p(12,35,37,) alebo p(5,12,13,), strany sa nedajú upraviť

krátením, východiskové p sú len vertikálne,

- horizontálne p(x,y,r), kde x > y, napr. p(144,17,145,), 144>17, môžu byť , základné

alebo zložené, nie sú východiskové okrem najmenších,

- vertikálne p(x,y,r), kde x < y, napr. p(11,60,61,), 11<60, môžu byt základné a

zložené, najmenšie z nich sú východiskové,

- y_n sú p s nepárnou protiľahlou odvesnou, napr. y_n (40,9,41,), číslo 9 je protiľahlá

odvesna, y_n môžu byt východiskové, základné alebo zložené,

- y_p sú p s párnou protiľahlou odvesnou, napr. y_p (45,28,53,), číslo 28 je protiľahlá

odvesna, y_p môžu byt východiskové, základné alebo zložené,

- ⊿ sú pravouhlé trojuholníky pri ktorých platí pytagorová rovnica pričom dĺžky strán sú

reálne čísla, napr. ⊿(y=1, x=1, r=1,41421356 …), všeobecný jednotkový tvar je ⊿(y,x,r) a

r²=1²+1^2..

- každý základný p je totožný s nekonečným počtom iných p.

Čiastočne sa zaoberáme aj s pravouhlými nepytagorejskými trojuholníkmi, ktorých

strany majú desatinné čísla, napr. ◿(x=2,66; y=5; r=5,66).

2. Zhodnosť a podobnosť pytagorejských trojuholníkov

Najmenší p(4,3,5,) je zhodný s p(3,4,5,). Aj keď sú zhodné, považujeme ich za dva odlišné, najmenšie, základné, východiskové p, ktoré sa stali predmetom tejto práce práve pre svoju odlišnosť.

Aby sme predišli nedorozumeniam samostatné písmena vo vetách označujúce objekty (prepona, odvesna, atď.) sú zvýraznené r, x, y, atď.

2.1.Odlišnosti najmenších p (4,3,5) a (3,4,5)

Z prvých päť úsečiek s dielikmi od 1 po 5 t. j. 1, 2, 3, 4, 5, dokážeme poskladať jeden p a to z úsečiek 3, 4, 5, tj. p(4,3,5) ≡ p(3,4,5). Dve zvyšné úsečky s 1 a s 2 dielikmi vyjadrujú najmenšie rozdiely medzi preponami a priľahlými odvesnami p 1=(5-4) a 2=(5-3). Dvojka je aj rozdielom medzi súčtom dvoch odvesien a prepony 2=(4+3-5) resp. 2=(3+4-5). Rozdiely medzi preponou r a priľahlou odvesnou x, ako aj medzi súčtom odvesien (x+y) a preponou r a ich vzťahy s ostatnými stranami p sú špecifické odlišností na ktorých je založená táto práca a platia pre všetky ostatné a už len väčšie pytagorejské trojuholníky. Rozdiel medzi preponou r a priľahlou odvesnou x sme označili písmenom k (k neznamená koeficient podobnosti) a medzi súčtom odvesien (x+y) a preponou r sme označili písmenkom f (f neznamená funkciu) a pytagorejské trojčíslie (x.y.r) sme doplnili o písmenko (k), potom:

k= r – x ,

f=x+y-r=y-r+x=y-(r-x)=y-k.

p=(x, y, r,)(k)

y_n(4,3,5)(1) ≡ y_p(3,4,5)(2),

Na obr. 2 sú dva podobné pravouhlé rovnoramenné ◿₁, ◿₂ a dva zhodné najmenšie p, horizontálny y_n(4,3,5,) kde x>y a vertikálny y_p(3,4,5,) kde x<y. Trojuholníky sme umiestnili v prvom kvadrante pravouhlej súradnicovej sústavy. Priľahlé odvesny ležia na x-vej osi, protiľahlé sa premietajú na y os, prepony r oboch p zvierajú s osou x uhol φ, ktorého začiatok je v bode 0. Toto sú východiskové podmienky nášho skúmania p.

Obr. 2. Pravouhlé trojuholníky v I. Q súradnicovej sústavy.

Pri pravouhlom rovnoramennom trojuholníku sú odvesny rovnako veľké (x=y), prepona

r= √x²+x² =√2x² = x√2 , ak x = 1, r=√1²+1²= √2.1² =1√2 = 1,4142... .

Iracionálne číslo 1,4142 … , vyplýva z rovnosti odvesien jednotkového rovnoramenného trojuholníka, tie môžu mať len nepárny, alebo len párny počet dielikov (x=y). Ak obe odvesny sa rovnajú a majú nepárny počet dielikov, potom prepona:

r = √(2n+1)²+(2n+1)² = √2(2n+1)² = (2n+1).√2 ,

ak obe odvesny sa rovnajú a majú párny počet dielikov, potom prepona:

r = √(2n)²+(2n)² = √ 2.(2n)² = 2n. √2 .

V oboch prípadoch sa nachádza iracionálna zložka čísla t.j. √2 . Násobok iracionálneho čísla je iracionálne číslo. Prepona pytagorejských trojuholníkoch je vždy nepárne prirodzené číslo. Aby prepona p mala nepárny počet dielikov, priľahlá odvesna musí mať nepárny počet dielikov, protiľahlá párny počet a naopak. Súčet druhej mocniny nepárneho čísla s druhou mocninou párneho je nepárne číslo, potom :

(x,y,r)∈ℕ : ∃  [x(2n-1)∧y(2n) ] ∨ [x(2n)∧y(2n+1)] ⇒ r(2n-1).

Vo svete trojuholníkov je rovnoramenný pravouhlý trojuholník v rovine so stranami x=1 dielik, y=1 dielik originálny. S ním zhodné a podobné trojuholníky vždy majú preponu s iracionálnym číslom. Iracionálne číslo aj keď neustále rastie, prepona nikdy neprekročí hranice dané rozpätím odvesien. Pravouhlé trojuholníky, ktorých strany nie sú prirodzené čísla majú preponu párnu, alebo nepárnu podľa toho ako ich zaokrúhlime.

2.2. Zhodnosť a podobnosť pravouhlých trojuholníkov

Podľa trigonometrie sú dva pravouhlé trojuholníky zhodne (totožné ≡) ak sú strany a uhly rovnaké. Strany trojuholníkov sa musia usporiadať podľa veľkosti, napr. ◿(4,3,5,)≡◿(3,4,5,). Zhodnosť týchto pravouhlých trojuholníkov ◿(4,3,5,)≡◿(3,4,5,) bola tiež podnetom k tomuto článku.

Pri podobnosti (~) dvoch pravouhlých trojuholníkov platí, že pomery strán (koeficienty podobnosti) sa rovnajú. Strany musia byť usporiadané podľa veľkosti, napr. pri:

⊿₁ so stranami 1: 1: 1,414

a ⊿₂ so stranami 2: 2: 2,828 platí, že — = — = —— → 2=2=2,

(koeficient podobnosti je 2) sú podobné, veľkosť uhlov sa nemení, no nie sú zhodné, prvý je menší druhý väčší.

O niečo zložitejšie to je s pravouhlými trojuholníkmi, ktorých dĺžky všetkých strán sú prirodzené čísla. Z obr. 2 vyplýva že vytvárajú dvojice zhodných p. Vždy je jeden horizontálny y_n (x>y) a druhý vertikálny y_p (x<y) a sa odlišujú:

trojuholníky y_n y_{p } protiľahlá odvesna nepárna y_n, párna y_p,

strany  x y r x y r ←x-priľahlá, y-protiľahlá, r-prepona,

najmenšie  4 3 5 3 4 5 ←sú zhodné a teda aj podobné, ako dva v jednom,

zložené (dvojnásobok)  8 6 10 6 8 10 ← vzájomne zhodné, s predchádzajúcimi podobné.

Strany y_n a y_p môžeme násobiť rovnakými prirodzenými číslami do nekonečna, dostaneme nekonečnú postupnosť podobných pytagoreských trojuholníkov, ktorých dĺžky troch strán sú súdeliteľné zložené prirodzené čísla a spĺňajú podmienky pytagorovej vety.

K p sa môžeme dopracovať aj metódou pokusu. Do pytagorovej vety budeme za odvesny dosadzovať rôzne prirodzené čísla a druhou odmocninou súčtu ich druhých mocnín √(x²+y²), vypočítame preponu. Ak výsledkom druhej odmocniny je prirodzené číslo, dopracovali sme sa k ďalšiemu p. Ak vieme o jednom, tak zámenou dĺžok odvesien x↔y vypočítame aj druhý, zhodný, napr. p(5,12,13) ≡p(12,5,13). Poväčšine sa základných p◸ nedá takýmto postupom mnoho zistiť.

Ako uvádza literatúra, Euklides predložil exaktný spôsob výpočtu základných p. Všeobecný tvar je takýto:

- ku každým dvom prirodzeným číslam m* a n*, kde m*>n*>0 z ktorých je jedno párne druhé nepárne vypočítame protiľahlú odvesnu y=m*²-n*², priľahlú odvesnu x=2m*n* a preponu r=m*²+n*² , keď m*=2, n*=1, potom y=2²-1²=3, x=2.2.1=4 a r=2²+1²=5, teda základný p◸(3,4,5)

- m*=√(r+y)/2 a n*=√(r-y)/2, (r,y)∊2n±1, spätne m*=√(5+3)/2=2 a n*=√(5-3)/2=1, ak 4=2m*n* a m*>√y, potom 2=m*n*=2.1 a m*>√3, m*>1,73 .

3. Postup stanovenia pytagorejských trojuholníkov

V predchádzajúcom článku (2.2.) sme uviedli postupy výpočtu p. Známe sú ešte ďalšie postupy výpočtu p, o ktorých ani nevieme. My sme vypracovali tiež jeden z postupov, ktorý vychádza zo vzťahu medzi protiľahlou odvesnou y a z rozdielu k=r-x.

3.1. Najmenší y_n(4,3,5,)(1), y_p(3,4,5,)(2)

Ak prepona p r=5 , tak k nej môžeme priradiť dvojicu p(4,3,5,)(1)≡p(3,4,5,)(2).

Platí: r=5∈p(x,y,r)(r-x)⇒ y_n(4,3,5,)(1) ˄∨ y_p(3,4,5,)(2).

Pytagorovú rovnicu upravíme o rozdiel k=r-x, čím vytvoríme jej nasledovný tvar:

nech x je neznáma a y>0,

v y_n, sa y = 2n-1 je najmenšie nepárne číslo, r=x+k, potom x² +(2n-1)²=(x+k)² ,

v y_p, sa y = 2n je najmenšie párne číslo, r=x+k, potom x² + (2n)² = (x+k)²,

po dosadení najmenšieho prirodzeného čísla 1 za n do upravenej pytagorovej rovnice (1), dostaneme:

v y_n, sa y = 2.1-1=1, k=1, r = x + 1, potom x² + (2.1-1)² = (x + 1)²

x² + 1² = x²+2x + 1²

x=0/2=0, r=x+1=0+1 =1

(x,y,r)(k)=(0,1,1)(1),

v y_p, sa y = 2.1=2, k=2, r = x + 2, potom x² + (2.1)² = (x + 2)²,

x² + 4 = x²+4x+4

x=0/4=0, k =x+ 2=0+2=2,

(x,y,r)(k)=(0,2,2)(2),

strany x=0(0), y=1(2), r=1(2), rozdiel k=1(2).

Nevznikli trojuholníky, lebo v oboch príkladoch priľahlá odvesna x=0. Ak za n v (1) dosadíme číslo 2 vznikne najmenší y_p(3,4,5,)(1) ≡ y_n(4,3,5,)(2). Menšie p ako tieto neexistujú, s rastom n vznikajú väčšie p. Je to priamy dôkaz tvrdenia že tieto p sú najmenšie z p a sú východiskové pre nekonečné postupnosti všetkých základných p, kde n>1.

3.2.Výpočet strán p

Aby sa v (1) zobrazovali len p nahradíme y=2n-1 výrazom y=2n+1 a y=2n výrazom y=4n:

y_n, y = 2n+1, k=1 r = x + k, x² + (2n+1)² = (x + 1)² ,

y_p, y = 4n, k=2 r = x + k, x² + (4n)² = (x + 2)².

V najmenšom p so stranami 4, 3, 5 je najmenšou stranou protiľahlá odvesna y=3. Z praktického hľadiska dáme protiľahlú odvesnu y na prvé miesto rovníc, potom aj na prvé

miesto trojčíslia t. j. (y,x,r)(k). Odteraz budeme dodržiavať poradie strán p takto, protiľahlá odvesna na druhu plus priľahlá odvesna na druhu sa rovná prepone na druhu:

y²+x²=r² a p = (y,x,r,)(k)

(2n+1)² + x² = (x + 1)², (4n)² + x² = (x + 2)²,

potom: horizontálny y_n vertikálny y_p

(2n+1)²+x²=(x+k)² , y=2n+1, k=1, (4n)²+x²=(x+k)², y=4n, k=2,

4n² + 4n+1+x²=x²+2x+1 16n²+x²=x²+4x+4

4n²+4n+x²-x²+1-1 = 2x 16n²+x²-x²-4=4x /:4

4n²+4n = 2x /:2 (2)

x=2n²+2n=2n(n+1) x=4n²-1

r=x+1=2n²+2n+1=2n(n+1)+1 r=(4n²-1)+2 =4n²+1

r= (2n²+2n)+1 r= x + k

r= x + k

Platí pytagorová veta, čo je dôkazom pravdivosti výpočtu, stačí za n dosadiť 1:

(2n+1)²+(2n² +2n)² =[(2n²+2n)+1]² (4n)² + (4n²-1)² =(4n²+1)²,

(2.1+1)²+(2.1²+2.1)²=[(2.1²+2.1)+1]² (4.1)² + (4.1²-1)²=(4.1²+1)²

(3.3) + (4.4) = (5.5) (4.4) + (3.3) = (5.5)

9 + 16 = 25 /√ 16 + 9 = 25 /√

3 + 4 = 5 4 + 3 = 5

K najmenšiemu prirodzenému číslu jednotke sme priradili najmenšie východiskové základné, y_p(3,4,5,)(1)≡y_n(4,3,5,)(2). Okrem rovnakej dĺžky prepôn r=5 majú odlišnosti v dĺžke protiľahlých odvesien y= 3, 4, priľahlých odvesien x= 4, 3, rozdielov k=1, 2. Sú iné v usporiadaní párnych, nepárnych strán. Nepárna protiľahlá odvesna y je prvočíslo 3, párna protiľahlá odvesna y je poloprvočíslo 4=2.2. K nepárnej protiľahlej odvesne 3 sa dá priradiť jeden y_p(3,4,5,)(1), k párnej protiľahlej odvesne 4 sa dá priradiť jeden y_n(4,3,5,)(2) .

Za n môžeme postupne dosadzovať do (2) prirodzené čísla až do nekonečna, dostaneme nekonečné postupnosti základných (nepodobných) p v ktorých sa odlišnosti uvedené v predchádzajúcom odstavci prenášajú do nasledujúcich p v postupnostiach.

3.3. Nepárne a párne čísla strán p

Štvorčíslie v základnom p musí dodržiavať poradie nepárnych a parných čísel :

základný horizontálnom p základný vertikálnom p

y x r k y x r k

nepárne, párne, nepárne, nepárne , párne, nepárne, nepárne, párne (3)

párne, nepárne, nepárne, párne, nepárne, párne, nepárne, nepárne.

V základnom p ak :

- protiľahlá odvesna y má nepárny počet dielikov, priľahlá odvesna x musí mať párny

počet dielikov,

- protiľahlá odvesna y má párny počet dielikov, priľahlá odvesna x musí mať nepárny

počet dielikov,

- protiľahlá odvesna y má nepárny počet dielikov, aj rozdiel k musí mať nepárny počet

dielikov,

- protiľahlá odvesna y má párny počet dielikov, aj rozdiel k musí mať párny počet dielikov,

- prepona r má vždy nepárny počet dielikov.

Ak uvedené zásady nie sú dodržané, tak trojuholník nie je základný ale zložený pytagorejský, alebo nie je pytagorejský. Pri zložených podobných p, kde sa strany dajú krátiť alebo ďalej rozširovať, tieto zásady platia pri rozširovaní nepárnymi číslami a neplatia pri rozširovaní párnymi prirodzenými číslami, napr. .

(3,4,5)(1) . 3 = (9,12,15)(3) (4,3,5)(2) . 3 = (12,9,15)(6)

(3,4,5)(1) . 2 = (6,8,10)(2) (4,3,5)(2) . 2 = (8,6,10)(4).

Pri rozširovaní p◸ párnymi číslami sa všetky strany y, x, r a rozdiel k stávajú párnymi. Pri krátení sa p◸ stávajú základnými .

4. Nekonečné n - postupnosti p

Každému je známa postupnosť prirodzených čísel n. Sú to prirodzené čísla usporiadané podľa veľkosti 1, 2, 3, 4, …. , n, pričom n sa pohybuje od 1 po ∞, takže :

{fn} = 1, 2, 3, …. , n+1,

a nazýva sa postupnosť prirodzených čísel, ktorá môže byť, ako aj jej podmnožiny (nepárne, párne, každé tretie, až n-té čísla), zároveň definičným oborom všetkých ostatných postupnosti a teda aj postupnosti základných p.

4.1. Nekonečné postupnosti základných p

Ku každému prirodzenému číslu n sme priradili podľa pravidiel (2) ďalšie štyri prirodzené čísla y,x,r,k. Dostali sme postupnosť strán y,x,r, postupnosť rozdielu k a spolu postupnosť p. Rastúce postupnosti p začínajú n>0 a pokračujú do nekonečna n→∞. V nasledujúcich tab. TN, TN1, TP, TP1 je z nekonečných n-postupností uvedených prvých 20 p :

Tab. TN postupnosť základných horizontálnych (x>y) y_n , kde sú protiľahlé odvesny s nepárnym počtom dielikov.

Tab. TN1 postupnosť východiskových vertikálnych (x<y) y_p so zámenou hodnôt odvesien v p z TN

Tab. TP postupnosť základných horizontálnych (x>y) y_p, kde sú protiľahlé odvesny s párnym počtom dielikov

Tab. TP1 postupnosť východiskových vertikálnych (x< y) y_n so zámenou hodnôt odvesien v p z TP

Postupnosti p v TN a TP s k=1 a s k=2 sme nazvali základné pretože každý p je základný. Postupnosti TN1 a TP1 s rôznymi nepárnymi a párnymi číslami k , sme nazvali východiskové, pretože každý p je východiskom pre ďalšie postupnosti základných a zložených p. Postupnosti sú odvodené od postupností protiľahlých odvesien y a priľahlých odvesien x, kde do ich funkcií dosadzujeme prirodzené čísla n. Nazývame ich n-postupnosťami. Jednotlivé strany p v n-postupnostiach môžeme násobiť (rozširovať) rovnakými prirodzenými číslami a dostaneme nekonečné postupnosti zložených p. Pri n>1, platí že p v TNTN1, TP≡TP1 a v TN≢TP, TN1≢TP1. Na začiatku každej postupnosti je najmenší p, v TN a TP1 (3,4,5,)(1) s y_n a v TP a TN1 (4,3,5)(2) s y_p.

V tabuľkách sú :

- v prvých riadkoch, postupnosti prirodzených čísel n od 1 po 20 a pokračujú do ∞,

- v prvých stĺpcoch sú názvy, v druhých sú uvedené vzorce výpočtu p(y,x,r)(k,) podľa

(2), nasledujú stĺpce p◸, v TN a TP sú p◸ horizontálne, v TN1 a TP1 vertikálne,

- každá prepona r p je rovnaká v dvoch zhodných základných p t.j.

y_n(y,x,r,)(k,) ≡ y_p(y,x,r,)(k,) ⇒r(y_n) = r(y_p),

- v postupnosti TN sa k=r-x=1, číslo 1 je najmenšie nepárne prirodzené číslo, nedá sa

rozložiť na činitele, k nemu priraďujeme nekonečnú množinu horizontálnych, základných

y_n, ktoré sa nedajú krátiť a nie sú východiskové, nedajú sa od nich odvodiť nové

nekonečné postupnosti základných p, iné základné p s k=1 mimo postupnosti TN

neexistujú, protiľahlé odvesny y tvoria nekonečnú postupnosť všetkých nepárnych

prirodzených čísel postupne podľa veľkosti,

- v postupnosti TP sa k=r-x=2, číslo 2 je párne prvočíslo, nedá sa rozložiť na činitele, k

nemu priraďujeme nekonečnú množinu horizontálnych, základných y_p, ktoré sa nedajú

krátiť a nie sú východiskové, nedajú sa od nich odvodiť nové nekonečné postupnosti

základných p, iné základné p s k=2 mimo postupnosti TP neexistujú, protiľahlé

odvesny y tvoria nekonečnú postupnosť párnych prirodzených čísel 4n postupne podľa

veľkosti (ostatné p◸ s y_p a k=2 sú zložené),

- p ktoré sa nenachádzajú v TN, TN1, TP a TP1 sú bud základné alebo zložené a tvoria

nekonečné m-postupnosti p s k uvedenom v TN1 (k=2, 8, 18, 32, …, atď.) a TP1 (k=9,

25, 49, …, atď.),

- p v TN1 a TP1 sú základné a zároveň východiskové p pre uvedené k, napr. v TN1 pri

n=2 je y_p(12,5,13) s k=8, m-postupnosťou východiskových p vypočítame nekonečnú

postupnosť všetkých základných p s rovnakým k, napr. nekonečnú postupnosť

všetkých p s k=8, iné základné p s k=8 mimo tejto m-postupnosti neexistujú, pretože

TNTN1 a TPTP1, s m - postupnosťami sa zaoberáme v časti „Nekonečné m-

postupnosti základných p“, východiskové sú len vertikálne, nie sú horizontálne,

- v postupnosti TN1 sa k=r-x=2n² a v postupnosti TP1 sa k=r-x=(2n-1)², lebo:

v TN1: v TP1:

k=r-x, r=y+1, y=2n(n+1), x=(2n+1), k=r-x, r=y+2, y=4n²-1, x=4n,

k=y+1-(2n+1)=2n(n+1)+1-(2n+1), k=y+2-4n,

k=2n²+2n+1-2n-1, k=4n²-1+2 -4n, (4)

k=2n², k=4n²-4n+1,

k=(2n-1)².

k=r-x=2n² k=r-x=(2n-1)²

k=2n² → √(k/2)=n k=(2n-1)² → (√k+1)/2=n

- čísla 2n² sú párne prirodzené zložené čísla dajú sa rozložiť na činitele ktoré sa opakujú, ku

každému priraďujeme jeden vertikálny základný, ktorý je východiskový y_p, od ktorého

sa odvodzuje nová m-postupnosť základných a zložených p,

- čísla (2n-1)² sú nepárne prirodzené zložené čísla dajú sa rozložiť na činitele ktoré sa

opakujú, ku každému priraďujeme jeden vertikálny základný, ktorý je východiskový y_n

od ktorého sa odvodzuje nová m-postupnosť základných a zložených p,

- v postupnostiach TN (TN1) sa pravidelne a opakovane vyskytujú v cykloch od

n=1+12=13+3 =16 +12=28+3=31+ …, p ktorých strany sú deliteľné číslami 3(4)|y,

4(3)|x, 5|r,

- v postupnostiach TP (TP1) sa pravidelne a opakovane vyskytujú v cykloch od

n=1+3=4+12=16+3=19+12=31+ … , p, ktorých strany sú deliteľné číslami 4(3)|y,

3(4)|x, 5|r stranami najmenšieho p,

- ktorý p sa nachádza na konkrétnom mieste v postupnosti TN zistíme tak, že v tab. TN v

druhom stĺpci do funkcii dosadíme číslo n, napr. na 500 mieste (n=500):

n n=500, y_n

y=2n+1 y=(2.500+1)= 1001,

x=2n(n+1) x=2.500. (500+1)= 501000,

r=x+1 r= 501000 +1= 501001

k=x+1 k=501001-501000= 1

- ak máme p(y,x,r)(k) a chceme zistiť na ktorom mieste sa v postupnosti nachádza,

postupujeme opačne:

horizontálny p 2n+1=y, n=(y-1)/2 napr. p_n(19,180,181,)(1),

2n+1=19, n=(19-1)/2= 9 (5)

vertikálny p 2n+1=x, n=(x-1)/2 napr. y_p(40,9,41)(32)

2n+1=9, n=(9-1)/2=4

prvý sa v TN nachádza na 9 mieste, druhý sa v TN1 na 4 mieste, správnosť overíme v TN

a v TN1. To platí aj pre p v TP a TP1.

Postupnosti p v TN, TP, TN1 a TP1 sme nazvali nekonečné. Vychádzali sme z prirodzených čísel. Prirodzené čísla n, ktoré sa nachádzajú v prvom riadku tabuliek sú osobitným prípadom reálnej funkcie f:ℕ→ℝ, ktorej definičným oborom je postupnosť

prirodzených čísel {fn}. Nech číslo ɛ je ľubovolné veľké číslo,

(∀ɛ)(∃n₀∈ℕ)(∀n≥n₀) fn>ɛ; lim n, fn=+∞;

postupnosť je divergentná, má nevlastnú limitu rovnú +∞. Množina prirodzených čísel ma mohutnosť alef₀ . Množiny ekvivalentné s množinou prirodzených čísle sú spočitateľné a majú mohutnosť alef_0.

Ekvivalentnými sú všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel. V súvislosti s p je to postupnosť protiľahlých odvesien y v TN a TP a priľahlých odvesien x v TN1 a TP1, ich rozdiely dvoch po sebe nasledujúcich členov d sú konštantné a sú aritmetické. Postupnosti

priľahlých odvesien x a prepôn r v tab. TN, TP a protiľahlých odvesien y a prepôn r v tab. TN1 a TP1 sú geometrické, v tvare krivky, ktorá neustále stúpa, ich rast je neobmedzený. Kvocienty q dvoch po sebe nasledujúcich členov nie sú konštantné.

Postupnosti rozdielov k=r-x p sú:

poradie postupností 1 2 3 4 … , n → ∞

TN vytvára postupnosť k 1, 1, 1, 1, … , 1, konštantnú,

TP vytvára postupnosť k 2, 2, 2, 2, … , 2, konštantnú,

TN1 vytvára postupnosť k 2.1², 2.2², 2.3², 2.4², …, 2n², rastúcu, (6)

TP1 vytvára postupnosť k 1², 3², 5², 7², ... , (2n-1)² , rastúcu.

Postupnosti TN1 a TP1 východiskových nepodobných p s rastúcim n sa pohybujú do nekonečna. V tab. TN a TN1, ako aj v TP a TP1 sú prepony pri rovnakom n rovnako dlhé, vytvárajú dvojice zhodných p.

4.2. Dôkaz nekonečnosti postupnosti p

Protiľahlé odvesny v TN majú nepárne čísla y=2n+1 a sú nekonečnou postupnosťou všetkých po sebe nasledujúcich nepárnych čísel, v TP majú odvesny párne čísla y=4n a sú nekonečnou postupnosťou každého druhého po sebe nasledujúceho párneho čísla. Nekonečnosť postupností nepárnych a párnych čísel je známa a asi aj dokázaná, preto sa obmedzíme na dôkaz nekonečnosti postupnosti priľahlej odvesny x, v tab. TN párne x=2n(n+1), v tab. TP nepárne x=4n²-1. Postupnosť ich čísel v rámci p potvrdzuje nasledovný dôkaz matematickou indukciou (výrazy m, m-1, m+1 nie sú m-postupnosťou z kapitoly 5):

TN : x_n ∊p ⇒ x_n=2n(n+1) TP : x_n ∊p ⇒ x_n=4n²-1

n=1 x₁ =2.1.(1+1) = 4 n=1 x₁ = 4.1²-1= 3

n=m x_m =2m(m+1) n=m x_m = 4m² -1 (7)

n=m+1 x_m+1 = 2(m+1)(m+1+1) n=m+1 x_m+1=4(m+1)²-1

=2(m²+m+m+m+1+1) =4(m²+2m+1)-1

= 2m²+2m+2m+2m+2+2 =4m²+8m+4-1

=(2m² +2m)+(4m+4) =(4m²-1) +(8m+4)

Platnosť dôkazov overíme na p, ktorý je v rámci potupnosti p na 5 mieste. Výsledky sa nachádzajú v postupnostiach TN a TP.

TN TP

x_m+1=(2m² +2m)+(4m+4) x_m+1=(4m²-1) +(8m+4)

n=5 x₅= (2.5² +2.5)+(4.5+4) n=5 x₅ =(4.5²-1) +(8.5+4)

= (50 +10)+24 = 99 + 44 =143

= 60 +24 =84

n=5 → x₅= 60, n=5→ x₅= 99,

n=6 → x₆= 84, n=6→ x₆= 143.

Tieto dôkazy x potvrdzujú aj platnosť tvrdenia pre TN1 a TP1, pretože platí TN≡TN1 a TP≡TP1 a platia aj pre prepony r=x+1 a r=x+2.

4.3. Dôkaz nepodobnosti p v postupnostiach p(y,x,r)(k)

Je potrebne potvrdiť že p v postupnostiach TN a TP sú základné a nie sú zložené. Vieme, že pravouhlé trojuholníky sú podobne, teda aj zložené, ak sa pomery ich strán rovnajú t.j. x_n+1/x_n=y_n+1/y_n=r_n+1/r_n a nepodobné, ak sa aspoň medzi dvoma stranami pomery nerovnajú t.j. x_n+1/x_n≠y_n+1/y_n. Teda ak jedna rovnosť neplatí, trojuholníky sú nepodobné, základné. To, že všetky p z uvedených tabuliek sú nepodobné, potvrdzujú nasledovné dôkazy. Stačí preskúmať odvesny x a y :

(x_n+1) : (x_n) = (y_n+1) : (y_n) → (x_n+1) . (y_n)=(y_n+1) . (x_n)

trojuholníky sú podobné, ak (x_n+1) . (y_n) – (y_n+1) . (x_n) = 0

trojuholníky sú nepodobné, ak (x_n+1) . (y_n) – (y_n+1) . (x_n) ≠ 0

Dôkaz tvrdenia prevedieme upravenou matematickou indukciou, kde v TN a TP skúmame tri dvojice rôznych p. Každú dvojicu tvoria dva po sebe nasledujúce p, jeden je väčší druhý menší.

P v postupnosti TN :

v tejto postupnosti porovnáme p s protiľahlou odvesnami y s nepárnym číslom a priľahlou odvesnou x s párnym číslom:

1. krok, prvou dvojicou vyhodnotenia sú y a x z dvoch po sebe nasledujúcich najmenších p s

n₁=1 a n₁=2,

y=2n+1 x=2n²+2n, rozdiel

n₁=1, y=2.1+1=3, x=2.1.(1+1)=4, 12.3≠5.4

n₁=2, y=2.2+1=5, x=2.2.(2+1)=12, 36 ≠ 20

36 - 20 ≠ 0,

16 ≠ 0,

4² ≠ 0,

skúška správnosti: p(y,x,r)(k) 3 . 12 ≠ 4 . 5

n₁=1 p(3,4,5)(1) 36 ≠ 20

n₁=2 p(5,12,13)(1) 36 - 20 ≠ 0,

16 ≠ 0,

4² ≠ 0,

Strany y, x nie sú zhodne, p sa nepodobajú, sú základné.

2. krok, druhou dvojicou vyhodnotenia sú y a x dvoch po sebe nasledujúcich p, sú to väčšie p ako v 1. kroku, teda m>1, (m-1)>2, v 2. a 3. kroku do upravených predpisov pre y a x dosadzujeme m^✶\:

y=2n+1 x=2n²+2n,

n₂=m y=2m+1 x=2m²+2m ,

n₂=m-1 y=2(m-1)+1=(2m-1) x=2(m-1)²+2(m-1)=2m²-4m+2+2m-2=

=2m²-2m,

rozdiel: (2m+1).(2m²-2m)≠(2m² +2m). (2m-1)

4m³-4m²+2m²-2m≠4m³-2m²+4m²-2m

-2m² -2m≠2m²- 2m (8)

0≠2m²-2m - (-2m²-2m)

4m² ≠0

napríklad: ak m=4, potom m-1=3,

y=2n+1 x=2n²+2n, rozdiel

n₂=m y=2m+1 x=2m²+2m , 4m² ≠0

m=4, y=2.4+1=9, x=2.4² +2.4=40^✶\ 4.4² ≠0

m-1 y=(2m-1) x=2m² -2m

n₂=3 y=2.4-1=7, x=2.4² +2.4=24^✶\

skúška správnosti:

n₂=4 p(9,40,41)(1) (40^✶\.7)-(9.24^✶\)≠0

n₂=3 p(7,24,25)(1) 280-216≠0,

64≠0

4.4²≠0,

Strany y, x nie sú zhodne, p sa nepodobajú, sú základné.

3. krok, treťou dvojicou vyhodnotenia sú y a x dvoch po sebe nasledujúcich p, m z druhého kroku sa môže rovnať m v 3.kroku alebo môže byť menšie:

y=2n+1 x=2n²+2n,

n₃=m y=(2m+1) x=2m²+2m

n₃=m+1 y=(2m+3) x=2m²+6m+4

rozdiel: (2m+3) .(2m²+2m)≠(2m²+6m+4). (2m+1),

(2m²+6m+4).(2m+1)-(2m+3) .(2m²+2m) ≠0

4m²+8m+4≠0

(2m+2)² ≠ 0,

napríklad: rozdiel

y=2n+1 x=2n²+2n, (2m+2)²≠0

n₃=m y=2m+1 x=2m²+2m (2.4+2)²≠0

m=4, y=(2.4+1)=9, x=2.4²+2.4= 40^✶\ 100≠0

10²≠0,

m+1 y=(2m+3) x=2m²+6m+4

n₃=5 y=(2.4+3)=11 x=2.4²+6.4+4=60 ^✶\

Skúška správnosti:

p(y,x,r)(k)

n₃=4 p(9,40,41)(1) (9.60^✶\)-(11.40^✶\)≠0

n₃=5 p(11,60,61)(1) 540-440-780 ≠ 0

100 ≠ 0

10² ≠ 0,

Strany y, x nie sú zhodne, p sa nepodobajú, sú základné.

P v postupnosti TP

V tejto postupnosti porovnáme p s protiľahlou odvesnou y s párnymi číslami a priľahlou odvesnou x s nepárnymi číslami. Postup je podobný postupu pri TN:

1. krok, prvou dvojicou vyhodnotenia sú y a x z dvoch po sebe nasledujúcich najmenších p

s n₁=1 a n₁=2,

y=4n, x=4n²-1, rozdiel:

n₁=1 y=4.1=4, x=4.1²-1=3, 15.4≠8.3

n₁=2 y=4.2=8, x=4.2²-1=15, 60 ≠ 24

60–24≠0,

36≠0,

6²≠0 ,

Skúška správnosti:

p(y,x,r)(k)

n₁=1 p(4,3,5)(2) 4.15 ≠ 3.8

n₁=2 p(8,15,17)(2) 60≠24

60-24≠0

36≠0

6²≠0

Strany y, x nie sú zhodne, p sa nepodobajú, sú základné.

2. rok, druhou dvojicou vyhodnotenia sú y a x dvoch po sebe nasledujúcich p, sú to väčšie

p ako v 1. kroku, s m>1, (m-1)>2: